2010. márc. 29. 12:39 - írta Gerusz

Na akkor csapjunk a lovak közé!

Első körben érdemes megismerkedni a halmazokkal, hiszen a halmazokra később is szükség lesz, elég sokszor.

D: Halmaz: elemek egy csoportja

Halmaz sokféle lehet, és az elem is takarhat lényegében bármit. Halmazba sorolhatjuk az állatokat, a tárgyakat, tulajdonképp akármit. Halmazt megadhatunk a következő módokon:

1. Az elemek explicit felsorolásával: A={2, 4, 6, 8}
2. (Ezt kerülni kell) Az elemek egy részének a felsorolásával: B={1, 1, 2, 3, 5, 8... 55}. Így jellemzően akkor adják meg a halmazokat, hogyha a minden elemre érvényes szabály megadása a célcsoportnak túl nehéz. Egy harmadikos kisdiák pl. megérti, ha úgy adjuk meg a természetes számok halmazát, hogy ℕ={0, 1, 2, 3...}, azt viszont már nem valószínű, hogy megérti, hogy ℕ={∀x: x∈ℤ ∧ x ≥ 0 }
3. Az elemekre érvényes szabály megadásával: A={10-nél kisebb pozitív, egész, páros számok}, B={A Fibonacci-sorozat első 10 tagja}. Ilyenkor a halmazt egy matematikai állítással adjuk meg, a halmazba tartozik minden olyan dolog a világon, amire ez az állítás igaz. Mivel a Fibonacci-sor eddig nem volt, ezért csak higgyétek el nekem, hogy az az :)
4. Halmazműveletekkel (később): C=A\B, ez ugyanaz, mintha azt mondanám, hogy C={4, 6}

A halmazok között létezik egy speciális halmaz, ez az "üres halmaz". Jelölése: A=∅. Ez a halmaz az a halmaz, aminek nincs egy eleme sem! FONTOS: A jelölése NEM A={∅}, hanem simán A=∅. Valamint A={0} NEM üres halmaz, hiszen tartalmazza a nullát, ami egy elem!

A halmazokról és elemeikről kimondhatók a következő állítások:

D: Részhalmaz: D⊆E, azaz D részhalmaza E-nek, ha D minden eleme megtalálható E-ben is. F⊂G, azaz F valódi részhalmaza G-nek, ha F minden eleme megtalálható G-ben, de G-nek van olyan eleme, ami nem található meg F-ben. A részhalmaz és a valódi részhalmaz közötti különbség árnyalatnyi ugyan, de néhány esetben fontos őket megkülönböztetni. {1, 2, 3} valódi részhalmaza {1, 2, 3, 4}-nek, részhalmaza, de nem valódi részhalmaza {1, 2, 3}-nak. Fontos megjegyezni, hogy ha F⊂G, akkor F⊆G is igaz!

T: Az üres halmaz minden nem üres halmaznak valódi részhalmaza. ∅⊂S, ha S≠∅

B: Az üres halmaznak nincs eleme, ezért minden eleme benne van bármelyik halmazban. A nem üres halmazok pedig tartalmaznak elemeket, és már csak ezért is tartalmaznak olyan elemet, ami nincs az üres halmazban.

D: Nem részhalmaza: H nem részhalmaza I-nek, ha H-nak van olyan eleme, ami I-ben nem található meg. Pl.: H={1, 2, 3, 4}, I={2, 3, 4, 5}

D: Eleme: x∈X, ha X explicit felsorolással (1.) van megadva, akkor ez akkor igaz, ha a felsorolásban x is szerepel. Ha valamilyen szabály szerint (3.) van megadva, akkor ez akkor igaz, ha x-re illik a szabály. Ha implicit módon van megadva, akkor akkor igaz, ha az implicit szabály illik rá (2.). Ha X halmazművelettel van megadva (4.), akkor az "eleme" állítás igaz, ha x eleme a művelettel létrejövő új halmaznak.

Halmazműveletek

A halmazokon végezhetők műveletek. Ez tény. A kérdés csak az, hogy ezek mik. A következőkben felsorolok pár alapműveletet. Ezen kívül léteznek még műveletek, de azok csak magasabb szintű tananyagokban kerülnek bemutatásra.

D: Unió: Ha C=A∪B, akkor C-ben megtalálható minden olyan elem, ami A-ban, vagy B-ben megtalálható. Ez a "vagy" ez logikai vagy, nem kizáró, tehát ha egy elem megtalálható mind A-ban és B-ben, akkor megtalálható lesz C-ben is. Pl. A={1, 2, 3, 4}, B={3, 4, 5, 6}, C=A∪B={1, 2, 3, 4, 5, 6}

D: Metszet: Ha C=A∩B, akkor C-ben azok az elemek találhatók meg, amik benne vanak A-ban és B-ben is. Pl. A={1, 2, 3, 4}, B={3, 4, 5, 6}, C=A∩B={3, 4}

D: Különbség: Ha C=A\B, akkor C-ben azok az elemek találhatók meg, amik benne vannak A-ban, de B-ben nincsenek. Pl. A={1, 2, 3, 4}, B={3, 4, 5, 6}, C=A\B={1, 2}

D: Számosság: |A| az A-halmaz elemeinek a száma. Pl. ha A={1, 2, 3, 4}, akkor |A|=4. Lehet végtelen, sőt, a végtelennek több típusa, de ezeket csak magasabb szintű tananyagokban mutatom be.

A halmazokról első körben ennyit, felsőbb szintű tananyagokban lesz róluk még szó.

Kellemes halmazokba rendezgetést!

Gerusz

2010. márc. 29. 12:04 - írta Gerusz

Üdv mindenkinek! Gerusz vagyok, mérnök-infó szakos egyetemista.

Sokszor tapasztaltam, hogy az emberek érettségin innen és túl is félnek a matematikától. A matektanárok gyakran túlságosan is szaknyelven magyarázzák az anyagot, a diákok nem kérdeznek bele, ráadásul sokszor az egy adott évfolyam tananyagában kevés az összefüggés. Ez leginkább a tantervnek róható fel, minden évfolyamon van ugyanis algebra, geometria, stb..., mindezek külön anyagrészben, a visszautalások pedig az előző tanév ugyanazon anyagrészére történnek, amire már nem feltétlen emlékszik mindenki.

Ugyanekkora probléma, hogy a matematikát sokan feleslegesnek tartják. Pedig ez nem így van. Matematika csak a filozófiához és a teológiához nem szükséges. Minden más tudományhoz, sőt a művészetekhez is kell több-kevesebb matematika. A főiskolán / egyetemen újratanulni a tantárgyat pedig pokoli nehéz.

Éppen ezért hoztam létre ezt a blogot. A blog célja az, hogy a kedves olvasót (Téged!) megtanítsa a matematikára. A Pitagorasz-tétel ugyanis legalább annyira az általános műveltség része, mint a Nemzeti dal, ugyanakkor a Nemzeti dal nem fog segíteni abban, hogy x szélességű helyre y képátlójú, a:b képarányú TV el fog-e férni :)

Egy másik célja a blognak, hogy megszerettesse a matematikát. Nem ördögtől való tudomány ez, sőt, kifejezetten szép (bármilyen gusztustalanul hosszú egyenleteket is tudnak kitalálni hozzá). Sőt, teljes biztonsággal állíthatom, hogy ez az egyetlen tudomány, ami örök és megdönthetetlen igazságokat tud kimondani. Ha úgy tetszik, a matematika az Élet, a Világmindenség meg Minden. Ha a Galaxis Útikalauz Stopposoknak című könyv pándimenzionális lényei azt a kérdést tették volna fel a Deep Tought-nak, hogy "Mely egyenlet írja le az Univerzum működését?", nem kellett volna évmilliókat várniuk egy értelmetlen válaszra.

Némi jelmagyarázat a bloghoz:

Kategóriák: alap, közép, emelt, egyetem és érdekesség.

Az "alap" kategóriába tartozó bejegyzések olyan alapvető összefüggéseket tartalmaznak, amik nélkül a többi bejegyzést nem lehet megérteni. Ezeket mindenkinek tudnia kéne, függetlenül attól, hogy 14, vagy 114 éves.

A "közép" kategóriába tartozó bejegyzéseket mindenkinek érdemes megérteni, de azoknak feltétlenül szükséges, akik a középszintű érettségin jó eredményt akarnak elérni. Megértésükhöz az "alap" kategória ismerete is elég.

Az "emelt" kategória értelemszerűen az emelt szintű érettségire való felkészülést segíti, de bárkinek hasznára válhat. Megértéséhez a "közép" kategória adott témakörhöz tartozó bejegyzéseinek ismerete is szükséges lehet.

Az "egyetem" kategóriába tartozó bejegyzések azoknak készülnek, akik valamilyen matematikával erősen dúsított szakon (műszaki, természettudományi, vagy gazdasági) tanulnak, vagy arra tervezik a továbbtanulást. Megértésükhöz az "emelt" kategória szükséges. Akik matematika szakon tanulnak, azok valószínűleg elég gyengének fogják tartani, tehát elsődlegesen nem nekik készült.

Az "érdekesség" kategóriába olyan bejegyzések kerülnek, amik ugyan kapcsolódnak a matematikához, de egyik felsőbb kategóriába se tartoznak bele.

Címkék: a címkék azonosítják azokat a témaköröket, amiket a bejegyzés érint. Előfordulhat, hogy egy-egy bejegyzésről lefelejtek egy címkét, azt egy kommentben jelezzétek!

Kommentek: aki viszonylag új az interneten, az nem biztos, hogy találkozott már kommentekkel. Minden bejegyzéshez tartoznak kommentek, észrevételeket, pontosításokat, kiegészítéseket és kérdéseket ide várok, ugyanitt válaszolni is fogok rájuk. A spamszűrő - stílszerűen - egy könnyű matekpélda megoldását várja, számokkal kell beírni.

Pontozott vonallal aláhúzott szavak: ha ráviszed az egeret, az értelmezést könnyítő információt találsz.

Á: állítás. A matematikai állítás egy olyan mondat (akár természetes nyelven, akár matematikailag leírva), amelynek az igazságtartalma egyértelműen, objektíven eldönthető. Az "Aladár magas" mondat pl. nem matematikai állítás, hiszen nincs definiálva, hogy mi az a "magas". Ellenben az "Aladár magasabb, mint Béla", vagy az "Aladár magassága több, mint 180 cm" már matematikai állítások, hiszen igazságtartalmuk egyértelműen eldönthető vagy úgy, hogy Aladárt és Bélát egymás mellé állítjuk, vagy úgy, hogy megmérjük Aladárt.

A: axióma. Az axióma olyan triviális állítás, amit nem szükséges (és gyakran nem is lehet) bizonyítani. Pl. 1+1=2

D: definíció. A definíció "elkeresztel" valamit, megállapítja, hogy amit így, vagy úgy hívunk, az ez, vagy az. Pl. "Egy derékszögű háromszögben a nem-derékszögű szögek szinusza a szöggel szemközti befogó és az átfogó hányadosa."

T: tétel. A tétel egy matematikailag bizonyított állítás. Abban különbözik az axiómától, hogy nem triviális, hanem bizonyítható. A bizonyítás nélküli állításokat sejtésnek nevezzük.

B: bizonyítás, egy kimondott tétel bizonyítása axiómák, matematikai és logikai műveletek és előzőleg bizonyított tételek segítségével.

Kontakt: ha valami olyan kérdésed, kérésed, észrevételed van, amit a nyilvánossággal nem szeretnél megosztani, akkor küldj egy e-mailt a g3rusz [kukac] gmail [pont] com címre!

Kellemes számolgatást!

Gerusz